Enseigner c’est transmettre le savoir : transmissif

Hypothèse que l’apprenant ne sait rien, l’enseignant cherche à remplir la tête vide en expliquant, montrant le savoir. C’est la pratique du cours magistral. Permet d’enseigner à plusieurs personnes, d’acquérir des connaissances. Cette technique suppose que tous les apprenants sont attentifs, qu’ils aient les prérequis pour comprendre le discours.

Enseigner c’est faire découvrir le savoir

• Modèle maïeutique scolaire

Hypothèse que toute personne a en elle-même la connaissance. L’enseignant aidé l’apprenant à accoucher de cette connaissance. Il amène l’élève par son questionnement à donner les bonnes réponses. Cette pratique se trouve dans la  remédiation pour amener l’élève à trouver la bonne réponse. L’enseignant ne prend pas en compte les erreurs, les ignore. L’enseignant peut finir par donner la réponse à l’élève en donnant la première syllabe, cela ne veut pas dire que l’élève aura compris. Pour la gestion de la classe, les élèves en difficulté ou timide ne participeront pas, et donner la bonne réponse deviendra un jeu.

• Modèle behavioriste

Créé des stimuli et des renforcements pour obtenir des comportements souhaités. L’enseignant défini des objectifs, il décompose les complexes en plusieurs objectifs. L’élève est guidé vers la bonne réponse, il acquiert des automatismes. Si l’élève arrive à atteindre les objectifs intermédiaires, cela ne veut pas dire qu’il a atteint l’objectif général, dès qu’on cesse de le guider, il ne sait plus où aller.

Enseigner c’est aider l’élève à construire le savoir

• Modèle constructiviste

La nouvelle connaissance est acquise car l’élève prend conscience que ses acquis sont insuffisants. Ce savoir doit lui apparaitre nécessaire, plus performant que ceux qu’il dispose. (Investissement des conceptions anciennes, prise de conscience de l’insuffisance de ces conceptions, construire et s’approprier de nouvelle connaissance). Ce processus est mis en place lors des situations-problèmes. Cette approche est la seule qui prend en compte les connaissances initiales des élèves et leurs erreurs. Il se déroule en 5 étapes :

• Dévolution : l’enseignant confie la responsabilité de la résolution du problème aux élèves, les élèves doivent comprendre la situation, le but, l’enjeu
• Dialectique de l’action : l’élève teste des réponses. L’enseignant observe, intervient en cas de difficultés de compréhension de l’énoncé.
• Dialectique de formulation : les élèves discutent entre eux des procédés en utilisant un langage adapté pour ce faire comprendre. L’enseignant s’assure que les groupes fonctionnent correctement, que tous cherchent et donnent leurs avis.
• Dialectique de validation : l’élève doit justifier la validité ou la non validité d’une solution et convaincre les autres
• Institutionnalisation : l’enseignant officialise le savoir, précise ce que les élèves doivent mémoriser. Des exercices de consolidation sont nécessaires pour fixer cette nouvelle connaissance.

• L’apprentissage par abstraction

Apprendre c’est acquérir des concepts, s’approprier leurs caractéristiques. Cette appropriation se fait en trois phases :

• Recherche des caractéristiques du concept : l’enseignant présente des exemples et demande aux élèves de trouver les caractéristiques du concept.
• Représentation mentales : l’enseignant présente de nouveaux exemples et les élèves doivent préciser si ce sont des exemples du concept
• Abstraction : l’élève doit faire la distinction entre exemple et contre-exemples et justifier ses choix, il doit produire des exemples et contre exemples et utiliser le concept dans d’autres contextes.

Ce modèle est surtout adapté aux concepts classificateurs, il n’aide pas les élèves à donner du sens au concept, et il n’est pas applicables pour toutes les connaissances.

Les situations qui conduisent à utiliser graphiques et tableaux s'appuient sur des données effectives (résultat d'enquête, document géographie..). Réaliser un tableau ou un graphique se fait des cas simples liés à la proportionnalité.

La proportionnalité ne s'étudie pas par elle-même, elle est utilisée dans:

• les problèmes de division, multiplication
• de quatrième proportionnelle,
• de comparaison (ex : 3l d'eau, 4 doses de fraises dans le mélange A, 11l d'eau, 15 doses de fraises dans le mélange B, lequel est le plus foncé ?),
• de proportionnalité simple composée (5l pour 100km, 30e pour 20l, combien doit il acheté de litres pour 500km?),
• de proportions multiples (55 personnes partent 20 jours, 420l d'eau pour 12 personnes et 1 semaine, combien faut-il prendre d'eau ?). 

 Procédure des élèves 

Propriété de linéarité : les élèves additionnent en ligne les nombres pour trouver les résultats. Il faut trouver des valeurs où cette méthode est difficile à appliquer pour l'obliger à utiliser d'autres techniques.

Le produit en croix : non enseigné à l'école primaire car son caractère mécanique fait perdre le sens du problème. 

La règle de trois ou le passage à l'unité : ramène à 1 le nombre d'objet pour connaitre sa valeur et le multiplier par le nombre à connaitre. 

Quatrième proportionnelle : on fait un tableau et on définit le coefficient de proportionnalité. D'autres façons de le traiter : 

Exemple: 400g de fruit et 80g de sucre. Combien faut-il de sucre pour 1000g de fruits ? 

800g + 200g de fruits = 80x2 + 80/2 = 200g de sucre 

Le sucre est 5 fois plus petit que les fruits, donc 1000/5 = 200g de sucre 

100g de fruit donne 20g de sucre. Donc 100x10 = 1000g de fruits et 20x10 = 200g de sucre 

Reconnaître une situation de proportionnalité 

L'élève pense à tort que tous les tableaux sont proportionnels. Il faut d'abord confirmer ou rejeter le caractère proportionnel des séries avant d'appliquer les règles. Lorsque le problème peut se modéliser par une fonction linéaire, deux modes de reconnaissance de la situation de proportionnalité sont enseignés : 

L’élève s'assure que les points du graphique sont alignés avec l'origine

Calcul des propriétés linéaires et additives, et multiplicatives sur le coefficient de proportionnalité. On vérifie que les éléments sont égaux

Concept difficile à appréhender pour les enfants, l'étude porte sur la mesure des grandeurs. Les situations proposées aux élèves doivent utiliser :

• la comparaison directe par juxtaposition ou superposition. L'élève compare deux objets en les posant à côté. 
• la comparaison indirect par un objet  (un instrument de report et la transformation, le mesurage par le choix d'une unité, le calcul par l'utilisation de formule). 

Les longueurs 

En GS, on compare des longueurs par comparaison des objets. On résout les problèmes relatifs aux grandeurs déplaçables : mise en place de la notion d'origine en mettant les objets au même niveau, et les problèmes relatifs aux grandeurs non déplaçables : utilisation d'un instrument de mesure. En cycle 2, on introduit le maitre d'abord construire un instrument de mesure, mesurer des objets à l'aide d'un étalon de longueur, puis une fois compris, on utilise les unités du système métrique. Quand ils ne connaissent pas les décimaux, ils décomposent les unités. En cycle 3, on détermine les longueurs par calcul, on pratique la mesure par comptage puis par lecture. 

Aire et périmètre 

Pour le cycle 3. Plusieurs activités : regrouper des figures ayant la même aire, ranger par ordre croissant en superposition, découpage, reconstruction. Les erreurs les plus fréquentes est l'existence d'un lien entre aire et périmètre, l'enfant pense que si le périmètre est grand, l'aire l'est forcément. Pour calculer l'aire, l'enfant va d'abord compter les carreaux le composant. En fin de cycle 3, l'élève connait des formules des aires. 

La masse 

Abordée dès le CP, l'élève travaille sur cette grandeur sans passer par la mesure. Il faut être vigilant sur les conversions. 

Les durées 

Distinguer la petite et la grande aiguille pour l'heure en cycle 2. Travail sur l'heure en cycle 2. 

Se représenter l’espace et se repérer

• Micro espace : espace lié à la manipulation des objets
• Meso espace : espace de déplacement du sujet
• Macro espace : espace accessible à des visions partielles

De 0 à 2 ans, l’enfant découvre son environnement, c’est l’espace vécu. De 3 à 4 ans, il ne peut pas représenter les proportions, les alignements. De 5 à 7 ans l’enfant perçoit l’espace sans que son corps ait besoin de l’expérimenter, il découvre l’espace en considérant les rapports topologiques entre les objets, l’espace euclidien se constitue, il considère les objets par rapport à l’environnement, c’est l’espace représenté. Il peut dessiner ce qu’il sait. Vers 8 ans, il est soucieux des perspectives, des proportions, des mesures. Vers 11 ans, l’espace devient conceptuel, les objets sont coordonnés et orienté selon un système de référence stable, c’est l’espace conçu.

Activité : s’approprier l’espace (parcours) construire des figures, compléter un patron d’un cube.

Au début de l’école, l’élève travaille sur la géométrie perspective, il reconnait les objets. Ensuite avec la géométrie instrumentée, il vérifie les propriétés des figures avec les outils. Puis il passe à la géométrie déductive en se basant sur l’énoncé.

LA GEOMETRIE PLANE

Droites

La droite est abordée par le trait droit ou l’alignement de points en rang. Le segment est abordé comme le trait qui relie deux points et se mesure avec la règle. Par pliage, on apprend la notion de perpendiculaire, les angles sont définis comme droits et leurs droites sont perpendiculaires. Ensuite ils tracent deux droits perpendiculaires à une troisième pour avoir des droites parallèles

La symétrie axiale

La notion de symétrie est approchée en tant que propriété au cycle 2, elle est travaillée et structurée au cycle  3. Au cycle 1 : activité de décoration, pliage, découpage, découverte de symétrie du corps, d’objet. Au cycle 2 : activité dans l’espace de la feuille, reconnaissance des axes de symétrie, compléter des figures, vérifier en pliant. Au cycle 3 : reconnaitre des axes, utiliser le pliage, utiliser du calque, utilisation de gabarit, construire une figure sur une feuille quadrillé. Varier l’orientation de l’axe. 

Polygones

Reconnaitre et nommer : au cycle 1, les élèves manipulent, découpent et les nomment. A cycle 2, le dessin est sur feuille, l’élève doit dépasser l’utilisation du quadrillage pour reconnaitre les figures, ensuite il passe à un papier pointé ou le quadrillage disparait et enfin sur papier blanc pour manipuler les instruments. Les activités sont essentiellement des reproductions. Au cycle 3, les activités ont de plus en plus lieu sur du papier blanc, on leur demande de reproduire et de construire. La mise en évidence de leur caractéristique par des activités de tri.

Compétences demandées

• Reproduire, construire, représenter : réaliser une copie, construire à partir d’une description, repérer des figures de base, exécuter des tracés soit avec un modèle soit par image mentale. Les variables sont : taille de l’espace, instrument, papier, complexité de la figure, orientation
• Décrire : pour qu’un camarade puisse identifier la figure, analysé, communiquer les étapes de sa construction

Difficultés

• Liées aux connaissances spatiales : certaines connaissances ne sont pas disponibles à certains âges.
• Liées aux représentations : difficulté à prendre conscience que le tracé est un ensemble de points, différencier segment et droite, à reconnaitre des perpendiculaires dès que l’orientation change,
• Liées aux tâches de construction : n’arrive pas à repérer les figures de bases par manque d’expériences, à les dissocier de la figure complexe, ne sait pas tracer chronologiquement, difficulté pour utiliser les outils
• Liées aux descriptions : l’élève ne connait pas le vocabulaire, ne connait pas les propriétés, a du mal à se faire comprendre, montrer sans expliquer.

GEOMETRIE DANS L’ESPACE

La représentation en trois dimensions pose problèmes aux élèves, ils peuvent avoir du mal à percevoir la tridimensionnalité dans le dessin et voir 3 figures. Il peut également avoir des difficultés à reconnaitre des propriétés. Avant de s’intéresser aux solides, ils doivent se familiariser avec l’espace. Activité de description (découvrir notion d’arête, sommet, face) et de reconnaissance des solides (jeu du portrait, reproduction d’une face), puis construction (dessiner le patron, le découper, le monter). La construction peut se faire avec ou sans modèle.

Les erreurs sont liées aux écarts par rapport aux caractéristiques de la perspective : chercher plusieurs points de vue dans une même représentation, représente que la face avant, chercher à conserver l’orthogonalité, chercher à conserver les distances, ne pas représenter les arêtes cachées en pointillés.

Reconnaitre un patron, nécessite que l’élève s’assure que toute les faces du solides soient représenter, que les faces ont les mêmes dimensions, que deux faces ne se superposent pas. Les erreurs sont liées à la reconnaissance d’un patron : l’élève ne s’assure que d’une condition, il n’arrive pas à vérifier mentalement les autres,

Définitions 

Problème: situation initiale contenue dans un énoncé qui comporte des données et qui pose une question. Il doit y avoir une progression dans l'apprentissage de résolution de problèmes, pour le concours il faut être attentif au moment où le problème est posé selon la progression de l'élève. 

• problèmes visant à construire des connaissances: ils ont pour but de montrer que les procédures d'autrefois ne sont plus pertinentes. On les place en début d'apprentissage d'une notion, on parle aussi de situation problème, elle peut avoir un lien avec la vie de la classe. 
• problèmes de recherche: l'élève ne dispose pas de la solution immédiate, il doit élaborer une démarche, tester, vérifier la solution. Les élèves ne cherchent pas de la même manière, n'utilisent pas les mêmes procédures, ils font preuve d'imagination, d'intuition. On note la capacité de l'élève à s'engager dans la recherche et à tenir un raisonnement. 
• problème complexe : il demande de mobiliser plusieurs connaissances en math, de mettre en place des étapes intermédiaire. Ce sont aussi des problèmes de recherche. 
• problème d'application: a pour but de s'exercer à l'utilisation d'un savoir. 

Étape de la résolution de problème

• lire l'énoncé et la question 
• se représenter la situation : les élèves vont beaucoup dessiner la situation, cela pose problème en CP où l'élève va vraiment dessiner les éléments de l'énoncé et perdre du temps. Il faut les amener à faire abstraction de cette étape. 
• décider d'une stratégie de résolution : appliquer cette procédure et la changer si elle ne marche pas : L'erreur n'est pas une faute. Si l'élève est dans l'erreur, on essaie de l'amener à une autre procédure.  
• vérifier le résultat : l'élève doit se poser la question de la validité du résultat qu'il propose. 
• rédiger la procédure de manière compréhensible, ou exposer sa démarche. L'élève doit argumenter, faire preuve de rigueur. 

Il faut amener l'élève à passer des procédures personnelles aux procédures expertes. 

Les stratégies 

• analogie: la situation ressemble à un autre problème et est résolue de manière analogue
• raisonnement hypothético-déductif : utilise une structure du type "si ... alors". On part des hypothèses du problème (chainage-avant), on part de la conclusion (chainage -arrière)
• procédure du type essai-erreur : on teste les solutions possibles 

Les composantes du problème

Les contextes :

• lié au contrat didactique: le contexte sur un environnement sans importance, proposé par le maitre 
• mathématique: exercice purement mathématique sans contexte 
• la vie de l'élève: durant une sortie, une activité autre que les maths
• transdisciplinaire : les maths ne sont pas une science isolée 
• rallye math: problèmes ouverts avec plusieurs manières de les résoudre. Les élèves s'organisent pour chercher ensemble 
• informatique : avec des logiciels 

L'énoncé fournit les données permettant de résoudre le problème. Il peut être oral ou écrit comme un texte, on doit extraire les données pertinentes, repérer les données manquantes. Le document peut être sous forme de tableaux, les données sont organisées. Elles peuvent être présentées sous forme de  graphiques, dessin, schémas, plan, ou encore extraites de la vie de tous les jours (horaires ...)

Les questions peuvent être présente, une seule question ou des sous-questions, à la fin de l'énoncé. On demande à l'élève de le relire après qu'il ait lu la question. La question peut être manquante, l'élève doit la déterminer. La réponse ne doit pas être immédiate, introuvable car il manque des données. La question peut aussi introduire de nouvelle donnée.