Sens des problèmes de division  

• Problème de partition ou d'une situation de division-partage : Simuler un partage et compter à la fin le nombre d'objets par personne. "j'ai 13 billes, je veux faire un partage avec 3 enfants" On cherche la valeur d'une part
• problème de quotition ou d'une situation de division-groupement : simuler la constitution de paquets, les compter. J'ai 13 billes, je veux faire des lots de 3 billes pour les donner à des enfants" On cherche le nombre de part

Le premier sens est favorisé, il utilise des termes comme "diviser, partager, distribuer". Cette situation se voit dès la fin de la maternelle. Mais lors de l'apprentissage de la technique opératoire de la division, on dit "dans 13 combien de fois 3 ?" qui se rapproche du 2e sens. 

Gestion du reste : Attention au sens de l'énoncé, si par exemple on nous demande combien de car pour transporter 50 élèves et qu'il nous reste 2 élèves, on doit ajouter 1 au quotient pour ne pas laisser d'élèves sur trottoir. 

 Calcul du quotient et du reste par soustraction ou addition 

Le problème pourrait être résolu par la soustraction : 13-3 = 10 - 3 = .... Puis on compte le nombre de soustraction pour obtenir le quotient. On peut aussi commencer par l'addition jusqu'à atteindre le résultat recherché : 3 + 3= 6 + 3 = 9 ... puis on compte le nombre de paquets. 

L'élève peut mal calculer, se tromper dans le dénombrement des sachets, compter la dernière ligne, continuer les additions jusqu'à trouver le chiffre (qu'il a déjà dépassé), ne pas gérer le reste. 

Calcul du quotient et du reste en utilisant des multiples du diviseur

On peut calculer 1x3 puis 2x3 puis 3x3 ... jusqu'à dépasser le nombre cherché, on aura donc le résultat voulu (ex: 3x4=12; 3x5 =15 > 13 donc le résultat cherché est 4) Cette méthode ressemble à la multiplication à trou : par combien multiplier 3 pour obtenir 13 ? (dans mon exemple, j'ai mis un reste, pour un enfant, il vaut mieux ne pas mettre de reste dans un premier temps pour qu'il comprenne la procédure).  L'élève peut avoir du mal à faire le lien entre le multiple et le nombre de sachet qu'il représente, on retrouve les erreurs déjà vu pour la soustraction et l'addition. 

Optimisation des méthodes 

On remplace le nombre de billes totales par un plus grand nombre. L'élève va devoir améliorer sa méthode de calcul pour ne pas à avoir à compter trop d'addition, de soustraction ou trop calculer les multiples. 262 billes pour 3 enfants. 

• pour la soustraction : tous les 10 paquets de 3 billes, il voit qu'il a réparti 30 billes, il va soustraire 30 billes à chaque étape  jusqu'à ne plus pouvoir et recommencer à soustraire par paquet de 3. Il faut se rappeler qu'un paquet de 30 billes donne 10 billes à un enfant, puis compter les soustractions de 3 billes, ce qui donne 10x8 = 80 + 7 soustractions de 3 billes = 87
• Pour l'addition: 10 additions correspondent à répartir 30 billes, on utilise la même technique 
• Pour l'utilisation de multiples: on utilise 10x3 puis 50x3 et 100x3. Ensuite on teste 60, 70, 80, 90 x 3. On voit que le multiplicateur est entre 80 et 90. On fait du 81x3, 82x3... jusqu'à trouvé le bon. 

Si on veut mettre en avant le coté lourd de ces méthodes, la calculatrice n'est pas souhaitable. 

Calculs avec construction du répertoire multiplicatif du diviseur 

 Vouée à disparaître car beaucoup trop lourde à faire. Il s'agit lors d'une division, d'écrire tous les multiples du diviseur.

Exemple: on doit diviser 33333 par 450, on va écrire les 9 premiers multiples : 450, 900, 1350 ... puis on va chercher à encadrer le résultat : 450x100 = 45000 > 33333; 450x50= 22500 ... on teste 60, 80, 90, on va utiliser l'amélioration de l'utilisation de multiples vu plus haut. 

Technique par tranche (ou potence) 

Pour la présenter, on utilise souvent du matériel de numération : cube, barre, plaque ou des pièces de monnaie mais pour présenter centaine, unité, et dizaine. 

Exemple: diviser 4897 par 37. 

Méthode pour trouver le nombre de  chiffre du quotient : 

On cherche à encadrer le quotient en utilisant la règle du zéro : 37x10, x100, x1000. Ici, on a 100x37<4897<1000x37, donc le quotient à 3 chiffres. 

4 milliers ne peut pas se diviser par 37.48 centaines peut se diviser par 37. Le quotient aura donc 3 chiffres. Cette démarche est proche de celle suivie par les enfants quand ils découperont le nombre en centaine, dizaine, unité.

On n'utilisera pas le terme de "abaisse" quand on descend le chiffre suivant, mais on dira "je transforme en dizaine, unité". Il est maintenant d'usage d'écrire les soustractions intermédiaires dans la potence

Trois recommandations : 

• commencer le calcul par une estimation du nombre de chiffre du quotient 
• poser des produits annexes et pas toute la table du diviseur 
• encourager la pose de soustraction 

Les erreurs peuvent venir d'erreur de calcul, de disposition, du zéro intercalaire non noté "il y va zéro fois, on abaisse l'autre chiffre et on ne note pas zéro du côté des quotients".