Définitions 

Problème: situation initiale contenue dans un énoncé qui comporte des données et qui pose une question. Il doit y avoir une progression dans l'apprentissage de résolution de problèmes, pour le concours il faut être attentif au moment où le problème est posé selon la progression de l'élève. 

• problèmes visant à construire des connaissances: ils ont pour but de montrer que les procédures d'autrefois ne sont plus pertinentes. On les place en début d'apprentissage d'une notion, on parle aussi de situation problème, elle peut avoir un lien avec la vie de la classe. 
• problèmes de recherche: l'élève ne dispose pas de la solution immédiate, il doit élaborer une démarche, tester, vérifier la solution. Les élèves ne cherchent pas de la même manière, n'utilisent pas les mêmes procédures, ils font preuve d'imagination, d'intuition. On note la capacité de l'élève à s'engager dans la recherche et à tenir un raisonnement. 
• problème complexe : il demande de mobiliser plusieurs connaissances en math, de mettre en place des étapes intermédiaire. Ce sont aussi des problèmes de recherche. 
• problème d'application: a pour but de s'exercer à l'utilisation d'un savoir. 

Étape de la résolution de problème

• lire l'énoncé et la question 
• se représenter la situation : les élèves vont beaucoup dessiner la situation, cela pose problème en CP où l'élève va vraiment dessiner les éléments de l'énoncé et perdre du temps. Il faut les amener à faire abstraction de cette étape. 
• décider d'une stratégie de résolution : appliquer cette procédure et la changer si elle ne marche pas : L'erreur n'est pas une faute. Si l'élève est dans l'erreur, on essaie de l'amener à une autre procédure.  
• vérifier le résultat : l'élève doit se poser la question de la validité du résultat qu'il propose. 
• rédiger la procédure de manière compréhensible, ou exposer sa démarche. L'élève doit argumenter, faire preuve de rigueur. 

Il faut amener l'élève à passer des procédures personnelles aux procédures expertes. 

Les stratégies 

• analogie: la situation ressemble à un autre problème et est résolue de manière analogue
• raisonnement hypothético-déductif : utilise une structure du type "si ... alors". On part des hypothèses du problème (chainage-avant), on part de la conclusion (chainage -arrière)
• procédure du type essai-erreur : on teste les solutions possibles 

Les composantes du problème

Les contextes :

• lié au contrat didactique: le contexte sur un environnement sans importance, proposé par le maitre 
• mathématique: exercice purement mathématique sans contexte 
• la vie de l'élève: durant une sortie, une activité autre que les maths
• transdisciplinaire : les maths ne sont pas une science isolée 
• rallye math: problèmes ouverts avec plusieurs manières de les résoudre. Les élèves s'organisent pour chercher ensemble 
• informatique : avec des logiciels 

L'énoncé fournit les données permettant de résoudre le problème. Il peut être oral ou écrit comme un texte, on doit extraire les données pertinentes, repérer les données manquantes. Le document peut être sous forme de tableaux, les données sont organisées. Elles peuvent être présentées sous forme de  graphiques, dessin, schémas, plan, ou encore extraites de la vie de tous les jours (horaires ...)

Les questions peuvent être présente, une seule question ou des sous-questions, à la fin de l'énoncé. On demande à l'élève de le relire après qu'il ait lu la question. La question peut être manquante, l'élève doit la déterminer. La réponse ne doit pas être immédiate, introuvable car il manque des données. La question peut aussi introduire de nouvelle donnée.