Définitions 

Problème: situation initiale contenue dans un énoncé qui comporte des données et qui pose une question. Il doit y avoir une progression dans l'apprentissage de résolution de problèmes, pour le concours il faut être attentif au moment où le problème est posé selon la progression de l'élève. 

• problèmes visant à construire des connaissances: ils ont pour but de montrer que les procédures d'autrefois ne sont plus pertinentes. On les place en début d'apprentissage d'une notion, on parle aussi de situation problème, elle peut avoir un lien avec la vie de la classe. 
• problèmes de recherche: l'élève ne dispose pas de la solution immédiate, il doit élaborer une démarche, tester, vérifier la solution. Les élèves ne cherchent pas de la même manière, n'utilisent pas les mêmes procédures, ils font preuve d'imagination, d'intuition. On note la capacité de l'élève à s'engager dans la recherche et à tenir un raisonnement. 
• problème complexe : il demande de mobiliser plusieurs connaissances en math, de mettre en place des étapes intermédiaire. Ce sont aussi des problèmes de recherche. 
• problème d'application: a pour but de s'exercer à l'utilisation d'un savoir. 

Étape de la résolution de problème

• lire l'énoncé et la question 
• se représenter la situation : les élèves vont beaucoup dessiner la situation, cela pose problème en CP où l'élève va vraiment dessiner les éléments de l'énoncé et perdre du temps. Il faut les amener à faire abstraction de cette étape. 
• décider d'une stratégie de résolution : appliquer cette procédure et la changer si elle ne marche pas : L'erreur n'est pas une faute. Si l'élève est dans l'erreur, on essaie de l'amener à une autre procédure.  
• vérifier le résultat : l'élève doit se poser la question de la validité du résultat qu'il propose. 
• rédiger la procédure de manière compréhensible, ou exposer sa démarche. L'élève doit argumenter, faire preuve de rigueur. 

Il faut amener l'élève à passer des procédures personnelles aux procédures expertes. 

Les stratégies 

• analogie: la situation ressemble à un autre problème et est résolue de manière analogue
• raisonnement hypothético-déductif : utilise une structure du type "si ... alors". On part des hypothèses du problème (chainage-avant), on part de la conclusion (chainage -arrière)
• procédure du type essai-erreur : on teste les solutions possibles 

Les composantes du problème

Les contextes :

• lié au contrat didactique: le contexte sur un environnement sans importance, proposé par le maitre 
• mathématique: exercice purement mathématique sans contexte 
• la vie de l'élève: durant une sortie, une activité autre que les maths
• transdisciplinaire : les maths ne sont pas une science isolée 
• rallye math: problèmes ouverts avec plusieurs manières de les résoudre. Les élèves s'organisent pour chercher ensemble 
• informatique : avec des logiciels 

L'énoncé fournit les données permettant de résoudre le problème. Il peut être oral ou écrit comme un texte, on doit extraire les données pertinentes, repérer les données manquantes. Le document peut être sous forme de tableaux, les données sont organisées. Elles peuvent être présentées sous forme de  graphiques, dessin, schémas, plan, ou encore extraites de la vie de tous les jours (horaires ...)

Les questions peuvent être présente, une seule question ou des sous-questions, à la fin de l'énoncé. On demande à l'élève de le relire après qu'il ait lu la question. La question peut être manquante, l'élève doit la déterminer. La réponse ne doit pas être immédiate, introuvable car il manque des données. La question peut aussi introduire de nouvelle donnée.

Sens des problèmes de division  

• Problème de partition ou d'une situation de division-partage : Simuler un partage et compter à la fin le nombre d'objets par personne. "j'ai 13 billes, je veux faire un partage avec 3 enfants" On cherche la valeur d'une part
• problème de quotition ou d'une situation de division-groupement : simuler la constitution de paquets, les compter. J'ai 13 billes, je veux faire des lots de 3 billes pour les donner à des enfants" On cherche le nombre de part

Le premier sens est favorisé, il utilise des termes comme "diviser, partager, distribuer". Cette situation se voit dès la fin de la maternelle. Mais lors de l'apprentissage de la technique opératoire de la division, on dit "dans 13 combien de fois 3 ?" qui se rapproche du 2e sens. 

Gestion du reste : Attention au sens de l'énoncé, si par exemple on nous demande combien de car pour transporter 50 élèves et qu'il nous reste 2 élèves, on doit ajouter 1 au quotient pour ne pas laisser d'élèves sur trottoir. 

 Calcul du quotient et du reste par soustraction ou addition 

Le problème pourrait être résolu par la soustraction : 13-3 = 10 - 3 = .... Puis on compte le nombre de soustraction pour obtenir le quotient. On peut aussi commencer par l'addition jusqu'à atteindre le résultat recherché : 3 + 3= 6 + 3 = 9 ... puis on compte le nombre de paquets. 

L'élève peut mal calculer, se tromper dans le dénombrement des sachets, compter la dernière ligne, continuer les additions jusqu'à trouver le chiffre (qu'il a déjà dépassé), ne pas gérer le reste. 

Calcul du quotient et du reste en utilisant des multiples du diviseur

On peut calculer 1x3 puis 2x3 puis 3x3 ... jusqu'à dépasser le nombre cherché, on aura donc le résultat voulu (ex: 3x4=12; 3x5 =15 > 13 donc le résultat cherché est 4) Cette méthode ressemble à la multiplication à trou : par combien multiplier 3 pour obtenir 13 ? (dans mon exemple, j'ai mis un reste, pour un enfant, il vaut mieux ne pas mettre de reste dans un premier temps pour qu'il comprenne la procédure).  L'élève peut avoir du mal à faire le lien entre le multiple et le nombre de sachet qu'il représente, on retrouve les erreurs déjà vu pour la soustraction et l'addition. 

Optimisation des méthodes 

On remplace le nombre de billes totales par un plus grand nombre. L'élève va devoir améliorer sa méthode de calcul pour ne pas à avoir à compter trop d'addition, de soustraction ou trop calculer les multiples. 262 billes pour 3 enfants. 

• pour la soustraction : tous les 10 paquets de 3 billes, il voit qu'il a réparti 30 billes, il va soustraire 30 billes à chaque étape  jusqu'à ne plus pouvoir et recommencer à soustraire par paquet de 3. Il faut se rappeler qu'un paquet de 30 billes donne 10 billes à un enfant, puis compter les soustractions de 3 billes, ce qui donne 10x8 = 80 + 7 soustractions de 3 billes = 87
• Pour l'addition: 10 additions correspondent à répartir 30 billes, on utilise la même technique 
• Pour l'utilisation de multiples: on utilise 10x3 puis 50x3 et 100x3. Ensuite on teste 60, 70, 80, 90 x 3. On voit que le multiplicateur est entre 80 et 90. On fait du 81x3, 82x3... jusqu'à trouvé le bon. 

Si on veut mettre en avant le coté lourd de ces méthodes, la calculatrice n'est pas souhaitable. 

Calculs avec construction du répertoire multiplicatif du diviseur 

 Vouée à disparaître car beaucoup trop lourde à faire. Il s'agit lors d'une division, d'écrire tous les multiples du diviseur.

Exemple: on doit diviser 33333 par 450, on va écrire les 9 premiers multiples : 450, 900, 1350 ... puis on va chercher à encadrer le résultat : 450x100 = 45000 > 33333; 450x50= 22500 ... on teste 60, 80, 90, on va utiliser l'amélioration de l'utilisation de multiples vu plus haut. 

Technique par tranche (ou potence) 

Pour la présenter, on utilise souvent du matériel de numération : cube, barre, plaque ou des pièces de monnaie mais pour présenter centaine, unité, et dizaine. 

Exemple: diviser 4897 par 37. 

Méthode pour trouver le nombre de  chiffre du quotient : 

On cherche à encadrer le quotient en utilisant la règle du zéro : 37x10, x100, x1000. Ici, on a 100x37<4897<1000x37, donc le quotient à 3 chiffres. 

4 milliers ne peut pas se diviser par 37.48 centaines peut se diviser par 37. Le quotient aura donc 3 chiffres. Cette démarche est proche de celle suivie par les enfants quand ils découperont le nombre en centaine, dizaine, unité.

On n'utilisera pas le terme de "abaisse" quand on descend le chiffre suivant, mais on dira "je transforme en dizaine, unité". Il est maintenant d'usage d'écrire les soustractions intermédiaires dans la potence

Trois recommandations : 

• commencer le calcul par une estimation du nombre de chiffre du quotient 
• poser des produits annexes et pas toute la table du diviseur 
• encourager la pose de soustraction 

Les erreurs peuvent venir d'erreur de calcul, de disposition, du zéro intercalaire non noté "il y va zéro fois, on abaisse l'autre chiffre et on ne note pas zéro du côté des quotients". 

L'apprentissage de la multiplication débute au CP par les doubles, mais la technique posée en colonne est enseignée en CE1. 

 Premières écritures multiplicatives 

Activités de dénombrement de collections rangées par paquets ou en lignes, répétition des additions. La notion de commutativité est intégrée à ce moment-là (7x4 = 4x7). L'élève peut utiliser plusieurs procédures :

• réunion de collection en  dessin et il procède au dénombrement, mais il peut oublier de dessiner un élément ou mal compter
• addition réitérées : l’élève peut inscrire en trop ou en moins une addition, faire une erreur de calcul 
• des collections rangées en disposition rectangulaire 

Apprentissage des tables 

L'apprentissage des tables se fait sur trois ans. Il faut donner du sens à l'apprentissage du par-cœur, en lien avec la compréhension de la technique opératoire.  Le calcul mental doit être travaillé tous les jours  5 à 10 minutes. 

Les difficultés s'accroissent avec la taille des nombres, on amène ainsi les élèves à ne plus utiliser les procédures de dessin et de réitération.  La construction de la table se fait à l'école, en utilisant la commutativité, les doubles. Les récitations des tables sont alternées entre écrit et oral, dans tous les sens (3x4, 4x3, 12 = 4x ?)

Le calcul en colonne 

La technique usuelle de la multiplication nécessite la coordination de plusieurs types de connaissances :

• table de multiplication
• numération décimale pour la gestion des retenues 
• règle des zéros 
• distributivité de la multiplication 

Multiplication d'un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre

Abordé par le biais de la numération et du calcul réfléchi. En préalable, on peut faire émerger des méthodes de calculs comme l'addition réitérées, le rangement rectangulaire. On peut s'appuyer sur la décomposition du nombre : 5x24 = 5x20 + 4x5, la multiplication en ligne va être possible, on peut utiliser un quadrillage avec des carreaux 24 colonnes et 5 lignes, on fait remarquer que 20 colonnes + 4 colonnes est la même chose que 24. On va ensuite poser la multiplication en faisant ces calculs en ligne:

•                      24
•                    x  5
•                    ___
• 5x4=             20
• 5x20=     +   100  
•                  _____
•                    120

La mise en colonne s'effectue en deux étapes : 

• écrire chaque produit de la décomposition et faire l'addition 
• exécuter le produit des unités et des dizaines (la technique normale). Au début sans retenue, l'introduire en débattant avec les élèves. 

La mise en place de la retenue se fera sur la ligne du produit intermédiaire. Elle sera barrée quand elle aura été utilisée. 

Utilisation du zéro : multiplication d'un nombre à deux chiffres par un nombre à 2 chiffres

Faire un calcul posé à plusieurs chiffres implique la connaissance de la règle du zéro. Il va encore falloir procéder par étape et décomposer par produit intermédiaire. 

•                                        89
•                                    x  23
•                                   _____
• 89x3=                           267             retenue : 2
• 89x20=89x2x10=          1780              retenue : 1
•                                 ________
•                                  2047

On peut aussi décomposer en dizaine et unité et utiliser la distributivité :

35x23 = 20x30 + 5x3 + 20x5 + 30x3

L'élève peut tout calculer et additionner ou peut poser les résultats en lignes, soit en tous les résultats sont alignés (voir ci-dessous), soit il regroupe les résultats en deux lignes 

•                              35
•                         x    23
•                          _____
• 15x3 =                  15
• 30x3=              +   90
• 20x5=              +  100
• 20x30=600       +  600
•                        _____
•                           805

L'enseignent portera l'attention des élèves sur ce qu'ils savent faire : 

• décomposer une multiplication 
• aligner les chiffres en colonne
• mémoriser les tables 
• écrire les retenues au bon endroit, les utiliser et les barrer
• placer le zéro  

Les problèmes 

• De décomposition: E1 +E2 = E ou E - E1 = E2. exemple : 4 billes rouges, 5 billes bleus, combien de billes ? 
• De transformation: état initial Ei, une transformation positive T+ ou négative T- pour obtenir un état final Ef : Ei +T+ = Ef; Ei - T- =Ef ... exemple: 9 billes, il en gagne 5, combien en a t'il ? 8 billes, il en donne 3, combien reste-t-il ? 
• De comparaison: E1 et E2, comparaison positive ou négative. 
• De repérage : les états initiaux et finaux sont des positions (exemple: jeu des petits chevaux)

L'élève retient les mots significatifs et choisit l'opération à effectuer en fonction. Il faut donc travailler sur le sens du problème, et faire des schémas, surtout en cycle 2, utilisation de la bande numérique. 

Les procédés de calculs 

• Calcul mental : Au cycle 2, les élèves ont recours au sur comptage mentalement ou sur les doigts, on leur donne la procédure de décomposition, la bande numérique (le zéro n'apparait pas au CP). Au cycle 3, l'élève doit mémoriser la table, on fait des additions à deux chiffres. Pour la soustraction, l'élève utilise la bande numérique en cycle 2. En cycle 3, il va décomposer. 
• Calcul en ligne et calcul posé: On utilise le calcul posé en addition dès lors qu'il y aura des retenus à gérer. Pour la soustraction, l'élève doit d'abord comprendre l'ordre entre les deux nombres à soustraire, il faut que a>b. Avant d'avoir la technique du calcul posé en addition, l'élève à plusieurs méthodes: mémoriser les résultats, comptage (il fait un schéma des deux quantités), sur comptage (il part du nombre le plus grand). Pour la technique opératoire, il doit maitriser les notions de centaine, dizaine, unité, les erreurs proviennent du mauvais alignement, mauvais mémorisation des tables d'addition. Pour la soustraction, les élèves confondent la retenue dans l'addition et la soustraction. Pour remédier, on décompose les chiffres. Plusieurs techniques avant la technique opératoire: soustraction en avançant, en reculant. 
• Calcul à la calculatrice: son utilisation est encadrée pour permettre la mémorisation, utilisée pour vérification. Au cycle 3, son utilisation centre l'élève sur l'organisation des calculs. 

Introduction des fractions 

Avec une bande de papier servant d'unité, on mesure des segments. On introduit la notion de 1/2 en pliant la bande de papier en deux pour mesurer un segment plus grand qu'une bande. On introduit les autres notions 1/3, 1/4 puis on introduit la notion d'écriture décimale. 

Des fractions aux décimaux 

La bandelette sera séparée en 10 parties. Les longueurs mesurées s'expriment en unité et dixième d'unité. On peut faire des opérations simples : 

• transformation : de l'unité vers la fraction 
• simplification : de la fraction vers l'unité 
• fractions équivalentes : 20/4 = 10/2 = 5

On introduit l'écriture décimale de cette manière : 3 + 2/10 = 3.2

Conceptions erronées des décimaux 

• l'élève considère le décimal comme un entier : il ne tient pas compte de la virgule, il va falloir revenir à la décomposition en fraction. Pour le produit, le résultat sera bon, mais l'erreur aura lieu sur la place de la virgule 
• erreur d'écriture : 5/100 = 5.100
• l'élève considère le décimal comme la juxtaposition de deux entiers : il va calculer les entiers ensemble puis les décimaux. 
• résultat juste mais conception fausse: l'élève manipule des décimaux en ayant le même nombre de chiffre après la virgule, il faut éviter d'ajouter des zéros à droite de la virgule pour faciliter la comparaison, cela favorise les erreurs de juxtaposition. 

 Propriétés des décimaux 

• la notion de précédent et de prédécesseur n'a plus de sens 
• on peut toujours insérer une infinité de décimaux entre deux 
• on peut écrire une infinité de zéro à droite 
• lorsque l'on multiplie un entier par un décimal, le résultat n'est pas toujours supérieur à l'entier
• lorsque l'on additionne ou soustrait, l'alignement se fait sur la virgule